Gọi φ là góc tạo bởi hai đường thẳng d 1 : 2 x + y − 1 = 0 và d 2 : x − 2 = 1 − y . Giá trị của biểu thức A = sin φ + cos φ là

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \({d_1}:2x + y - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,1} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x - 2 = 1 - y \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,\,1} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Lại có \({\sin ^2}\varphi  + {\cos ^2}\varphi  = 1 \Rightarrow \sin \varphi  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi }  = \sqrt {1 - \frac{9}{{10}}}  = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\,\,\,\)(do \(\varphi \) là góc nhọn).

Vậy \(A = \sin \varphi  + \cos \varphi  = \frac{3}{{\sqrt {10} }} + \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).