Gọi I là tâm của đường tròn ( C ) : ( x − 1 )^2 + ( y − 1 ) ^2 = 4 . Số các giá trị nguyên của m để đường thẳng x + y − m = 0 cắt đường tròn ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao c

4/50

Gọi \(I\)là tâm của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\). Số các giá trị nguyên của \(m\) để đường thẳng \(x + y - m = 0\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho tam giác \(IAB\) có diện tích lớn nhất là

\(1\).

\(3\).

\(2\).

\(0\).

Giải thích

Đường tròn \(\left( C \right)\)có tâm \(I\left( {1;1} \right)\), \(r = 2\).

Để đường thẳng \(d\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Khi đó: \(0 \le d\left( {I,d} \right) < 2 \Leftrightarrow 0 \le \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} < 2\) \( \Leftrightarrow 2 - 2\sqrt 2 < m < 2 + 2\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta IAB\) có \({S_{\Delta AIB}} = \frac{1}{2} \cdot IA \cdot IB \cdot \sin \widehat {AIB} = \frac{1}{2} \cdot {R^2} \cdot \sin \widehat {AIB} \le \frac{1}{2}{R^2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sin \widehat {AIB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {AIB} = 90^\circ \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 \).

Suy ra\(d\left( {I,d} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị nguyên của m. Chọn C.