Gọi ( H ) là phần giao của hai khối 1/4 hình trụ có bán kính (a), hai trục hình trụ vuông góc

28/30

Gọi \(\left( H \right)\) là phần giao của hai khối \(\frac{1}{4}\) hình trụ có bán kính \(a\), hai trục hình trụ vuông góc với nhau như hình vẽ sau. Tính thể tích của khối \(\left( H \right)\).

\({V_{\left( H \right)}} = \frac{{{a^3}}}{2}\).

\({V_{\left( H \right)}} = \frac{{3{a^3}}}{4}\).

\({V_{\left( H \right)}} = \frac{{2{a^3}}}{3}\).

\({V_{\left( H \right)}} = \frac{{\pi {a^3}}}{4}\).

Giải thích

Chọn C

Gọi ( H ) là phần giao của hai khối 1/4 hình trụ có bán kính (a), hai trục hình trụ vuông góc (ảnh 1)

· Đặt hệ toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mp \(\left( {Oyz} \right)\) cắt trục \(Ox\) tại \(x\): thiết diện mặt cắt luôn là hình vuông có cạnh \(\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) \(\left( {0 \le x \le a} \right)\).

· Do đó thiết diện mặt cắt có diện tích: \(S\left( x \right) = {a^2} - {x^2}\).

· Vậy \({V_{\left( H \right)}} = \int\limits_0^a {S\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_0^a {\left( {{a^2} - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \)\( = \left. {\left( {{a^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^a\)\( = \frac{{2{a^3}}}{3}\).