Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = căn x, y = 2e^x

a) Sai. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\) là \(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x \,{\rm{d}}x.} \)

b) Đúng. Gọi \[V\] là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng\(x = 0,x = 4\) khi quay quanh trục \(Ox.\)

Khi đó, \[V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {4{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \left. {2\pi {e^{2x}}} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)\].

c) Sai. Vì \[2{e^x} - \sqrt x > 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right]\] nên diện tích của hình H là

\[{S_H} = \int\limits_0^4 {\left| {2{e^x} - \sqrt x } \right|{\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {\left( {2{e^x} - \sqrt x } \right){\rm{d}}x} = } \left. {\left( {2{e^x} - \frac{2}{3}x\sqrt x } \right)} \right|_0^4 = 2{e^4} - \frac{{22}}{3}\].

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là

 \(V = \pi \int\limits_0^4 {\left| {{{\left( {2{e^x}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left| {4{e^{2x}} - x} \right|{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^4 {\left( {4{e^{2x}} - x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\pi \left( {2{e^{2x}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4 = 2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)\).