Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 . Vectơ −−→ GB − −−→ CG có độ dài bằng

30/38

Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác vuông \[ABC\;\] với cạnh huyền \[BC = 12\]. Vectơ GB→−CG→ có độ dài bằng

\(2\sqrt 3 \).

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Vì \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\;\] nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {AG} \).

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG\).

Giả sử điểm \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\), khi đó \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông \(ABC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\).

Theo tính chất trọng tâm ta có: \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = 4\).