Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)

13/235

Gọi \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\) thỏa mãn \(F\left( 2 \right) = 0.\) Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = x\) có nghiệm là:

\(x = 0.\)

\(x = 1.\)

\(x = - 1.\)

\(x = 1 - \sqrt 3 .\)

Giải thích

Ta có \(\int {\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}} \;{\rm{d}}x = - \frac{1}{2}\int {{{\left( {8 - {x^2}} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \;{\rm{d}}\left( {8 - {x^2}} \right) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C.\)

Mặt khác \(F\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = 2\) nên \(F\left( x \right) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2\).

Do đó \(F\left( x \right) = x \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\8 - {x^2} = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\ - 2{x^2} + 4x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 3 }\\{x = 1 - \sqrt 3 }\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 .} \right.\)Chọn D.