Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x khi x lớn hơn hoặc bằng 1; 2x – 1 khi x < 1 trên khoảng (0; + vô cùng). Biết F(1) = 2, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Đúng.               c) Sai.                    d) Đúng.

a) Đúng. Với x ≥ 1, \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln x + {C_1}\).

Vì F(1) = 2 nên \(\ln 1 + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2\). Vậy F(x) = lnx + 2.

b) Đúng. Ta tính F(e) = ln e + 2 = 1 + 2 = 3.

c) Sai. Với 0 < x < 1, \(\int {\left( {2x - 1} \right)} dx = {x^2} - x + {C_2}\).

 Do F(x) liên tục tại x = 1 nên F(1) = 2 suy ra 1²−1+C₂=2 Þ C₂ =2.

 Công thức đúng là F(x) = x²- x + 2.

d) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, \(\int_{\frac{1}{2}}^e {f(x)} dx = F(e) - F\left( {\frac{1}{2}} \right)\).

Ta có \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} + 2 = 0,25 - 0,5 + 2 = 1,75 = \frac{7}{4}\).

Kết quả tích phân là \(3 - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}\).