Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), với

4/22

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\), với \(f\left( x \right) = 3\sin x + \frac{4}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\), biết \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\).

\[\frac{{13}}{2} + 4\sqrt 3 \].

\[\frac{7}{2} + 4\sqrt 3 \].

\[ - \frac{3}{2} + 4\sqrt 3 \].

\[ - \frac{5}{2} - 4\sqrt 3 \].

Giải thích

Ta có: \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {3\sin x + \frac{4}{{{{\cos }^2}x}}} \right){\rm{d}}x} = 3\int {\sin x{\rm{d}}x} + 4\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} \]\[ = - 3\cos x + 4\tan x + C\].

Do đó \[F\left( x \right) = - 3\cos x + 4\tan x + C\].

\(F\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow - 3 + C = 2 \Leftrightarrow C = 5\).

Suy ra \[F\left( x \right) = - 3\cos x + 4\tan x + 5\].

Vậy \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 3\cos \frac{\pi }{3} + 4\tan \frac{\pi }{3} + 5 = \frac{7}{2} + 4\sqrt 3 \].