Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4(x^3) khi x lớn hơn hoặc bằng 1; 4x khi x < 1. Biết F(0) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

18/25

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^3}{\rm{ khi }}x \ge 1}\\{4x{\rm{ khi }}x < 1}\end{array}} \right.\). Biết F(0) = 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Với x < 1, công thức của họ nguyên hàm là F(x) = 2x² + 2.

ĐúngSai

Giá trị của F(1) = 4.

ĐúngSai

Với x ≥ 1, công thức của họ nguyên hàm là F(x) = x⁴ + 3.

ĐúngSai

Giá trị của tích phân \(\int_{ - 1}^2 f (x)dx\) = 19.

ĐúngSai

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\), F(x) = 2x² + C₁. Do F(0) = 2 nên C₁ = 2.

Vậy F(x) = 2x² + 2.

b) Đúng. Hàm số f(x) có nguyên hàm trên tập số thực nên F(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra F(1) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2{x^2} + 2)\) = 4.

c) Đúng. Trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\), F(x) = x⁴ + C₂.

Do F(1) = 4 nên 1 + C₂ = 4 Þ C₂ = 3. Vậy F(x) = x⁴ + 3.

d) Sai.\(\int_{ - 1}^2 f (x)dx\) = F(2) − F(−1).

F(2) = 2⁴ + 3 = 19; F(−1) = 2×(−1)² + 2 = 4.

Tích phân có giá trị là 19 − 4 = 15.