Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2 khi x < 1; 1/x khi x lớn hơn hoặc bằng 1 thỏa mãn điều kiện F(0) = 1. Tính giá trị của F(e).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Hàm số f(x) có nguyên hàm nên F(x) liên tục trên toàn tập xác định.

Khi x < 1, ta tìm họ nguyên hàm: F(x) = 2x + C₁.

Do F(0) = 1 nên 0 + C₁ = 1 dẫn đến C1 = 1.

Vậy F(x) = 2x + 1.

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 1)\) = 3.

Do tính liên tục nên F(1) = 3.

Khi x ≥ 1, họ nguyên hàm là F(x) = ln x + C₂.

Vì F(1) = 3 nên ln 1 + C₂ = 3 suy ra C2 = 3.

Vậy F(x) = ln x + 3.

Tính giá trị tại x = e: F(e) = ln e + 3 = 1 + 3 = 4.