Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = {2^x} - 4x\] trên

a) Ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = {2^x} - 4x \Rightarrow F'\left( 0 \right) = {2^0} - 4.0 = 1\).

=> Mệnh đề a) sai.

b)\(\int {f(x){\rm{d}}x}  = \int {\left( {{2^x} - 4x} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} + C\).

\(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} - {2.0^2} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2} \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{2}{{\ln 2}} - 2.\)

=> Mệnh đề b) sai.

c) \(\int {F(x){\rm{d}}x}  = \int {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2{x^2}} \right){\rm{d}}x}  = \frac{{{2^x}}}{{{{\ln }^2}2}} - \frac{2}{3}{x^3} + C\).

=> Mệnh đề c) sai.

d) \(\int {\frac{{f(x)}}{{x{{.2}^x}}}{\rm{d}}x}  = \int {\frac{{{2^x} - 4x}}{{x{{.2}^x}}}{\rm{d}}x}  = \int {\left( {\frac{1}{x} - {{4.2}^{ - x}}} \right){\rm{d}}x}  = \int {\frac{1}{x}{\rm{d}}x}  - 4\int {{2^{ - x}}{\rm{d}}x} \)\( = \ln \left| x \right| + \frac{4}{{\ln 2}}{.2^{ - x}} + C\)

=> Mệnh đề d) đúng.