Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2^x , thỏa mãn F ( 0 ) = 1 ln 2 . Tính giá trị biểu thức T = F ( 0 ) + F ( 1 ) + ⋯ + F ( 2018 ) + F ( 2019 ) .

Phương pháp giải:

Tìm nguyên hàm của hàm \(F(x)\) và tính tổng dựa về tổng cấp số nhân.

Giải chi tiết:

Ta có

\[\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {{2^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C.\]

\(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\),

ta có

                                       \[F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\]

mà \(F(0) = \frac{1}{{\ln 2}}\).

    \[ \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}.\]

                      \[T = F(0) + F(1) + \cdots + F(2018) + F(2019)\]

              \[ = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {1 + 2 + {2^2} + \cdots + {2^{2018}} + {2^{2019}}} \right)\]

  \[ = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{{{2^{2020}} - 1}}{{2 - 1}} = \frac{{{2^{2020}} - 1}}{{\ln 2}}.\]

Đáp án cần chọn là: D.