Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2^x , thỏa mãn F ( 0 ) = 1 /ln 2 .

15/20

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\), thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\).

a) \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {{2^x}dx} = {2^x}\ln 2 + C\).

c) \(F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).

d) \(T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^{2025}} - 1}}{{\ln 2}}\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) nên \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

b) \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\).

c) Vì \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\) nên \(\frac{1}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}} \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).

d) Ta có \(F\left( 0 \right) = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}}\); \(F\left( 1 \right) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}}\); …; \(F\left( {2024} \right) = \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}}\); \(F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}\).

Khi đó \(T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) = \)\[ = \frac{{{2^0}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + ... + \frac{{{2^{2024}}}}{{\ln 2}} + \frac{{{2^{2025}}}}{{\ln 2}}\]

\[ = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {{2^0} + {2^1} + ... + {2^{2024}} + {2^{2025}}} \right)\]\[ = \frac{{{2^{2026}} - 1}}{{\ln 2}}\].

Đáp án: a) Đúng;b) Sai; c) Đúng;d) Sai.