Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm

19/22

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \[f(x) = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\] trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) = 0\). Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình \(F\left( x \right) = x\left[ {1 + \log ({x^2} + 1)} \right]\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần 10)

Giải thích

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = 1 + \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = 1 + {\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]^\prime }\)

\( \Rightarrow \int {f(x){\rm{d}}x} = \int {1{\rm{d}}x} + \int {{{\left[ {\ln ({x^2} + 1)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x} = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)\( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).

\(F\left( 0 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(0 + \ln \left( {{0^2} + 1} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow F\left( x \right) = x + \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Xét phương trình \(F\left( x \right) = x\left[ {1 + \log ({x^2} + 1)} \right]\).

Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\)

Phương trình \( \Leftrightarrow \ln \left( {{x^2} + 1} \right) = x\log \left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln 10.\log \left( {{x^2} + 1} \right) - x\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \log \left( {{x^2} + 1} \right).\left( {\ln 10 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\\ln 10 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 1\\x = \ln 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \ln 10\end{array} \right.\).

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình là \(T = {0^2} + {\left( {\ln 10} \right)^2} \approx 5,3\).