Gọi E là tập hợp tất cả các số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi số y có không quá 4031 số nguyên x thỏa mãn l o g^2 2 (x) − 3 y l o g 2 (x) + 2 y^2 < 0 . Tập E có bao nhiêu phần

Giải thích

Điều kiện \(x > 0\).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\), bất phương trình trở thành \({t^2} - 3yt + 2{y^2} < 0\,\,\left( * \right)\).

\({\rm{\Delta }} = {(3y)^2} - 4.2{y^2} = {y^2} > 0,\forall y \in {\mathbb{Z}^ + }\), tam thức có hai nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = y}\\{t = 2y}\end{array}} \right.\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow y < t < 2y\) hay \(y < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x < 2y \Leftrightarrow {2^y} < x < {2^{2y}}\).

Vì \(x,y \in {\mathbb{Z}^ + }\)nên \(x \in A = \left\{ {{2^y} + 1;{2^y} + 2; \ldots ;{2^{2y}} - 1} \right\}\).

Số phần tử của tập \(A\) là \(\left( {{2^{2y}} - 1} \right) - \left( {{2^y} + 1} \right) + 1 = {2^{2y}} - {2^y} - 1\).

Giả thiết bài toán có không quá 4031 số nguyên \(x\) nên ta có. \({2^{2y}} - {2^y} - 1 \le 4031\)

\( \Leftrightarrow {2^{2y}} - {2^y} - 4032 \le 0 \Leftrightarrow  - 63 \le {2^y} \le 64 \Leftrightarrow y \le 6\).

Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\)nên \(y \in E = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\).

Số phần tử của tập hợp \(E\) là 6 .

 Chọn A