Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) y= 2x-3/ x-2 tại M cắt các đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B. Tồn tại điểm M sao cho đường

y'=−1(x−2)2∀x≠2

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 nên I ( 2;2).

Đặt Mm+2;2m+1m∈(C)(m≠0).

⇒(d):y=y'xM⋅x−xM+yM hay (d):y=−1m2⋅(x−m−2)+2m+1m. 

Gọi A là giao điểm của d và tiệm cận đứng x = 2

⇒xA=2yA=−1m2⋅(2−m−2)+2m+1m=2m+2m⇒A2;2m+2m.

Gọi B là giao điêm của (d) và tiệm cận ngang y =2

⇒2=−1m2⋅(xB−m−2)+2m+1myB=2⇒xB=2m+2yB=2⇒B(2m+2;2).

Vì △IAB vuông tại I nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là

R=AB2=12⋅4m2+4m2=m2+1m2 (1). 

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương m2 và 1m2, ta được: m2+1m2≥2m2⋅1m2=2 (2) .

Tự (1) và (2)⇒R≥2⇒ Diện tích hình tròn là S=πR2≥2π.

Dấu "=" xảy ra ⇔m≠0m2=1m2⇔m=1⇒M(3;3)m=−1⇒M(1;1)

Vậy S đạt GTNN bằng 2π khi M ( 1;1) hoặc M ( 3;3).