Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) biết

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right),r = 3\)

Do tiếp tuyến song song đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 17 = 0\) nên tiếp tuyến có dạng \(d:3x + 4y + c = 0\;\left( {c \ne  - 17} \right)\)

Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi: \(d\left( {I,\,d} \right) = r \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.2 + 4.\left( { - 1} \right) + c} \right|}}{5} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 13\\c =  - 17\end{array} \right.\).

So với điều kiện \(c =  - 17\) loại.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 13 = 0\).