Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc m (m>0) cắt đồ thị

37/50

Gọi d là đường thẳng đi qua A(2;0) có hệ số góc m (m>0) cắt đồ thị C:y=-x3+6x2-9x+1 tại ba điểm phân biệt A,B,C. Gọi B', C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C lên trục tung. Biết rằng hình thang BB'C'C có diện tích bằng 8, giá trị của M thuộc khoảng nào sau đây?

(5;8)

(-5;0)

(0;2)

(1;5)

Giải thích

Chọn D.

Cách 1:

Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua A(2;0) là y=mx-2m

Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình:

-x3+6x2-9x+2=mx-1⇔x-2x2-4x+m+1=0⇔x=2x2-4x+m+1=01

x=2⇒y=0⇒A2;0. Do đó: (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt

⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 khác 2⇔Δ'=3-m>022-4.2+m+1≠0⇔-m>-3m-3≠0⇔m<3m≠3⇔m<3

Theo định lí Vi-et: x1+x2=4x1x2=m+1, mà m>0⇒m+1>0⇒x1+x2>0x1.x2>0⇒x1>0x2>0

Giả sử Bx1;mx1-2m và Cx2;mx2-2m⇒B'0;mx1-2m và C'0;mx2-2m.

⇒B'C'=mx1-x2=mx1-x2;BB'=x1=x1;CC'=x2=x2

Ta có:

SBB'C'C=12B'C'BB'+CC'=8⇔B'C'BB'+CC'=16⇔mx1-x2x1+x2=16⇔mx1-x2=4⇔m2x1-x22=16⇔m2x1+x22-4x1x2=16⇔m216-4m-4=16

⇔m3-3m2+4=0⇔m+1m-22=0⇔m=-1 hoặc m=2

Vì 0<m<3⇒m=2⇒m∈1;5.

Cách 2:

Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua A(2;0) và y=m(x-2)

Xét hàm số y=fx=-x3+6x2-9x+2C

TXĐ: D=R

⇒ Đồ thị (C) nhận điểm A(0;2) làm điểm uốn.

⇒B và C đối xứng nhau qua A;B' và C' đối xứng nhau qua O

⇒OA là đường trung bình của hình thang BB'C'C⇒BB'+CC'2=OA=2

Diện tích của hình thang BB'C'C bằng 8⇒B'C'=4

Không mất tính tổng quát, giả sử yB>0⇒yB=2⇒-xB3+6xB2-9xB+2=2⇒xB=0xB=3

+ xB=0⇒B0;2⇒d có phương trình y=-x+2⇒m=-1<0 (loại).

+ xB=3⇒B3;2⇒d có phương trình y=2x-4⇒m=2 (thỏa mãn).

Vậy giá trị của m thuộc khoảng (1;5)