Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = mx +1/x (*), m là tham số. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến đường tiệm cận xiên bằng 1/ căn bậc hai 2

Lời giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = m - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{m{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\).

Hàm số (*) có cực trị khi \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0 \( \Leftrightarrow \frac{1}{m} > 0 \Leftrightarrow m > 0\).

Lúc đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x_1} =  - \frac{1}{{\sqrt m }},\,{x_2} = \frac{1}{{\sqrt m }}\,.\)

Bảng biến thiên

Điểm cực tiểu của \(\left( {{C_m}} \right)\) là \(M\left( {\frac{1}{{\sqrt m }};2\sqrt m } \right)\).

Tiệm cận xiên \(\Delta :y = mx \Leftrightarrow mx - y = 0\).

Theo đề \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {\sqrt m  - 2\sqrt m } \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt m }}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2m = {m^2} + 1 \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m = 1\). Chọn A.