Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = (m x^2 + (3 − m)x + m^2 − 2) / (x − 1), với m là tham số. Gọi (d) là đường tiệm cận xiên của (C).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Đúng.              c) Đúng.              d) Sai.

Ta có \(y = mx + 3 + \frac{{{m^2} + 1}}{{x - 1}}\), do đó (C) có tiệm cận xiên là (d): y = mx + 3 (m ≠ 0).

a) Đúng. Với m = 2 thì (d) có phương trình là y = 2x + 3.

b) Đúng. Ta có A(1; 4) Î d nên 4 = m + 3 Û m = 1.

c) Đúng. Giao điểm của (d) với hai trục tọa độ là \(M\left( {0;\,3} \right);\,N\left( { - \frac{3}{m};0} \right)\).

Diện tích tam giác vuông OMN là \(S = \frac{1}{2}OM \cdot ON = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left| {\frac{3}{m}} \right| = \frac{9}{{2\left| m \right|}}\)

Ta có \(S = 9 \Leftrightarrow \frac{9}{{2\left| m \right|}} = 9 \Leftrightarrow \left| m \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\) (nhận).

Vậy có 2 đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9.

d) Sai. Ta có \(d\left( {O,\left( d \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1} = \sqrt 3 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 \).