Gọi alpha là góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng {SAC), khi đó tan alpha bằng:

10/35

Cho hình chóp \(S.ABC\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), đáy là tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) và \(AC = 2{\rm{a}}\), \(BC = {\rm{a}}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), khi đó \({\rm{tan\alpha }}\) bằng:

\(3\sqrt 3 \).

\(\sqrt 3 \).

\(1\).

\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Giải thích

Lời giải

Gọi alpha là góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng {SAC), khi đó tan alpha bằng: (ảnh 1)

Dựng \(BI \bot AC\,\,\left( {I \in AC} \right) \Rightarrow BI \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BI \bot SC.\)

Dựng \(IH \bot SC\left( {H \in SC} \right) \Rightarrow SC \bot \left( {BIH} \right) \Rightarrow BH \bot SC.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC\\IH \subset \left( {SAC} \right),IH \bot SC\\BH \subset \left( {SBC} \right),BH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {{\rm{S}}BC} \right)} \right) = \left( {IH,BH} \right) = \widehat {BHI}\).

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}BI.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}BI \cdot 2a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(CI = \sqrt {B{C^2} - B{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\).

Ta có: \(\Delta CHI\) đồng dạng với \(\Delta CAS\) nên:

\(\frac{{IC}}{{SC}} = \frac{{IH}}{{SA}} \Rightarrow IH = \frac{{SA \cdot IC}}{{SC}} = \frac{{SA \cdot IC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{a}{6}.\)

\(\Delta BHI\) vuông \(I\) tại có: \({\rm{tan}}\widehat {BHI} = \frac{{BI}}{{IH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{a}{6}}} = 3\sqrt 3 .\) Chọn A.