Gọi a1, a2, a3... an

100/235

Gọi $a_{1} a_{2} ... a_{n}$ với $a_{i} \in \{2; 0\}$ là một xâu có độ dài $n$ . Gọi xâu 20 là xâu OLIMPIC nếu 2 và 0 là hai phần tử liên tiếp theo thứ tự đó ở trong xâu có độ dài $n$ đã cho (ví dụ như xâu 2220022 có độ dài là 7 và trong đó có 1 xâu OLIMPIC). Xét các xâu có độ dài 30 và chứa $k$ xâu OLIMPIC, biết rằng có $C_{31}^{9}$ xâu như thế. Tìm $k$ (nhập đáp án vào ô trống)?

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi H là số là xâu chứa toàn là số 2 có độ dài lớn hơn hay bằng 1.

Gọi K là số là xâu chứa toàn là số 0 có độ dài lớn hơn hay bằng 1.

Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1. HKHKHK…HK (*) (có k xâu loại H, k xâu loại K).

Trường hợp 2. HKHKHK…HKH (có k + 1 xâu loại H, k xâu loại K).

Trường hợp 3. KHKHK…KHK (có k xâu loại H, k + 1 xâu loại K).

Trường hợp 4. KHKHK…KHKH (có k + 1 xâu loại H, k + 1 xâu loại K).

Xét trường hợp 1.

Gọi ${x_1}$ là số phần tử ở xâu H (H ở vị trí đầu tiên trong (*)), ${x_1} \ge 1$.

Gọi ${x_2}$ là số phần tử ở xâu K (K ở vị trí thứ hai trong (*)), ${x_2} \ge 1$.

…

Gọi ${x_{2k}}$ là số phần tử ở xâu K (K ở vị trí cuối trong (*)), ${x_{2k}} \ge 1$.

Ta có: ${x_1} + {x_2} + ... + {x_{2k}} = 30$.

Theo bài toán chia kẹo Euler: Số xâu có độ dài 30 và chứa k xâu OLIMPIC trong trường hợp 1 là $C_{29}^{2k - 1}$.

Tương tự như vậy ta có các trường hợp còn lại và kết hợp với quy tắc cộng ta có:

$C_{29}^{2k - 1} + C_{29}^{2k} + C_{29}^{2k} + C_{29}^{2k + 1} = C_{31}^9 \Leftrightarrow C_{31}^{2k + 1} = C_{31}^9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}9 = 2k + 1\\9 = 31 - \left( {2k + 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow k = 4$. Vậy \[k = 4\].

Đáp án cần nhập là: $4$.