Gọi A và B là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số y = log3(5x - 3) sao cho A là trung điểm của đoạn OB (với O là gốc tọa độ). Biết độ dài đoạn thẳng AB có dạng căn bậc hai của a/b.

Trả lời: 305.

Điều kiện: \(5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}\).

Gọi \(A({x_1};{y_1})\) và \(B({x_2};{y_2})\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Vì \(A\) là trung điểm của đoạn OB, suy ra\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} = 2{x_1}}\\{{y_2} = 2{y_1}}\end{array}} \right.\).

Do \(A\) và \(B\) cùng nằm trên đồ thị hàm số \(y = {\log _3}(5x - 3)\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_1} = {{\log }_3}(5{x_1} - 3)}\\{{y_2} = {{\log }_3}(5{x_2} - 3)}\end{array}} \right.\).

Thay \({x_2} = 2{x_1}\) và \({y_2} = 2{y_1}\) vào phương trình thứ hai, ta được:

\(2{\log _3}(5{x_1} - 3) = {\log _3}(10{x_1} - 3) \Leftrightarrow 25x_1^2 - 40{x_1} + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{2}{5}\left( L \right)\\{x_1} = \frac{6}{5}\left( N \right)\end{array} \right.\).

Với \({x_1} = \frac{6}{5} \Rightarrow {y_1} = {\log _3}\left( {5 \cdot \frac{6}{5} - 3} \right) = {\log _3}(3) = 1\).

Vậy tọa độ điểm \(A\) là \(A\left( {\frac{6}{5};1} \right)\).

Vì \(A\) là trung điểm của OB nên độ dài đoạn AB bằng độ dài đoạn OA:

\(AB = OA = \sqrt {x_1^2 + y_1^2}  = \sqrt {{{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {\frac{{36}}{{25}} + 1}  = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\).

Đối chiếu với dạng bài cho \(AB = \frac{{\sqrt a }}{b}\), ta xác định được: \(a = 61\) và \(b = 5\).

Suy ra \(ab = 305\).