Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x^2+aln(x^2-x+1)-x>-2

94/100

Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình \({x^2} + a\ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) - x \ge - 2\) nghiệm đúng với mọi số thực x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

a ∈ (8;+∞).

a ∈ (2;3].

a ∈ (−6;−5].

a ∈ (6;7].

Giải thích

Đặt \(t = {x^2} - x + 1 = \left( {x - \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\left( {t \ge \frac{3}{4}} \right)\).

Ta có: \({x^2} - x + 2 + a\ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 + 1 + a\ln \left( {{x^2} - x + 1} \right) \ge 0\).

Đặt \(t = {x^2} - x + 1 = \left( {x - \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4},\left( {t \ge \frac{3}{4}} \right)\).

Ta được bất phương trình \(t + 1 + a\ln t \ge 0\,\,(2),\left( {t \ge \frac{3}{4}} \right)\).

Đặt \(f(t) = t + 1 + a\ln t \ge 0 \Rightarrow {f^\prime }(t) = 1 + \frac{a}{t} > 0,\forall t \ge \frac{3}{4}\).

Do đó để bất phương trình (2) nghiệm đúng \(\forall t \ge \frac{3}{4}\) điều kiện là \(f\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}} \right) \ge {\rm{0}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{7}{4} + a\ln \frac{3}{4} \ge 0 \Leftrightarrow a \le \frac{{ - 7}}{{4\ln \frac{3}{4}}} \approx 6,09.\)