Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) = e^(2x) - 5e^x + 2x + 1

Phương pháp giải

Giải phương trình y'=0 tìm tọa độ hai điểm cực trị.

Từ đó tính diện tích \(S = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OB} } \right|.\)

Giải chi tiết

Tập xác định\(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(f'(x) = 2{e^{2x}} - 5{e^x} + 2 = 0,\)suy ra các nghiệm như sau:

\({e^x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = - \ln 2 \Rightarrow y = - \frac{5}{4} - 2\ln 2,\)\({e^x} = 2 \Leftrightarrow x = \ln 2 \Rightarrow y = - 5 + 2\ln 2.\)

Hai điểm cực trị là \(A\left( { - \ln 2;{\mkern 1mu} - \frac{5}{4} - 2\ln 2} \right),\qquad B\left( {\ln 2;{\mkern 1mu} - 5 + 2\ln 2} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( { - \ln 2;{\mkern 1mu} - \frac{5}{4} - 2\ln 2} \right),\quad \overrightarrow {OB} = \left( {\ln 2;{\mkern 1mu} - 5 + 2\ln 2} \right).\)

Diện tích tam giác OAB là \(S = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {OA} \times \overrightarrow {OB} } \right| = \frac{{25}}{8}\ln 2 \approx 2,17.\)

Cách khác tính diện tích tam giác OAB:

\(OA = \sqrt {5{{\ln }^2}2 + \frac{{25}}{{16}} + 5\ln 2} \approx 2,72589,OB = \sqrt {5{{\ln }^2}2 + 25 - 20\ln 2} \approx 3,67958,AB = \sqrt {20{{\ln }^2}2 + \frac{{225}}{{16}} - 30\ln 2} \approx 1,69621.\)Công thức Hê-rông:\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \approx 2,17.\)