Góc giữa SD và mặt phẳng {SAC}

98/120

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a\). Biết góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^ \circ }\).

Góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

\({35^ \circ }\).

\({35^ \circ }{15}\).

\({45^ \circ }\)

\({40^ \circ }{15}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) từ đó xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cần tìm.

Lời giải

Góc giữa SD và mặt phẳng {SAC} (ảnh 1)

\(SD \cap \left( {SAC} \right) = \left\{ S \right\}\)

Hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(\left( {SAC} \right)\) là \(C\,\,\left( {do\,\,DC \bot \left( {SAC} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SD;SAD} \right) = \angle \left( {SD;SC} \right) = \angle DSC\)

Xét \({\rm{\Delta }}SCD \bot C\) có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SD = \sqrt {S{A^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(2a)}^2}} = a\sqrt 6 }\\{CD = \sqrt {C{E^2} + E{D^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {\rm{sin}}\angle DSC = \frac{{CD}}{{SD}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SD;\left( {SAC} \right)} \right) \approx {35^0}{15}\)