$Xét \(\Delta BDD'\) (ảnh 2)$

a) Đúng. Ta có \(AD = 3,DC = 2,DD' = 1\)\( \Rightarrow A\left( {3\,;0\,;0} \right),B\left( {3\,;2\,;0} \right),D'\left( {0\,;0\,;1} \right)\).

b) Sai. Ta có \(\overrightarrow {D'B} = \left( {3\,;2\,; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BD'\).

Vậy phương trình đường thẳng \(BD'\) là \(\frac{{x - 3}}{3} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\).

c) Đúng. Ta có MN ngắn nhất \( \Leftrightarrow MN = d\left( {AD,BD'} \right)\).

Có \(AD{\rm{//}}BC \Rightarrow AD{\rm{//}}\left( {BCD'} \right) \Rightarrow d\left( {AD,BD'} \right) = d\left( {D,\left( {BCD'} \right)} \right)\).

Cách 1. Lập được phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD'} \right)\): \(y + 2z - 2 = 0\).

Khi đó, \(d\left( {AD,BD'} \right) = d\left( {D,\,\left( {BCD'} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = 0,89\).

Cách 2. Kẻ \(DE \bot D'C\).

Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot DD'}\\{BC \bot DC}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {DD'C} \right)} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot DE \Rightarrow DE \bot \left( {BCD'} \right)\)\( \Rightarrow DE = d\left( {D,\left( {BCD'} \right)} \right)\).

Xét \(\Delta DD'C\) vuông tại \(D\) có:

\(\frac{1}{{D{E^2}}} = \frac{1}{{D{{D'}^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow DE = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \approx 0,89 \Rightarrow MN = 0,89\).

d) Sai. Kẻ \(EN{\rm{//}}BC\). Lấy điểm \(M\) trên AD sao cho \(DM = EN\).

Suy ra tứ giác DENM là hình bình hành \( \Rightarrow MN = DE\).

Kẻ \(NH{\rm{//}}DD'\) cắt DB tại \(H\).

Do \(DD' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow NH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vậy cao độ của điểm \(N\) là NH.

Ta có \(D'E = \sqrt {D{{D'}^2} - D{E^2}} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Rightarrow D'E = \frac{1}{5}D'C\).

Xét \(\Delta BCD'\) có: \[EN{\rm{//}}BC \Rightarrow \frac{{D'N}}{{D'B}} = \frac{{D'E}}{{D'C}} = \frac{1}{5}\].

Xét \(\Delta BDD'\) có: \(NH{\rm{//}}DD'\)\( \Rightarrow \frac{{NH}}{{DD'}} = \frac{{BN}}{{D'B}} = 1 - \frac{{D'N}}{{D'B}} = \frac{4}{5}\)\( \Rightarrow NH = 0,8\).

Góc giữa hai vectơ \(\over