Góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC) bằng

6/35

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(\Delta ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(M\) là trung điểm của \(BC\), khoảng cách \(h\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Góc giữa đường thẳng \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng

\(42^\circ \).

\(60^\circ \).

\(30^\circ \).

\(45^\circ \).

Giải thích

Lời giải

Góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (ABC) bằng (ảnh 1)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra góc giữa \(SM\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SMA}\).

Kẻ \(AH \bot SM\left( {H \in SM} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

Từ đó suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow h = AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta HAM\) vuông tại \(H\) có: \(\sin \widehat {SMA} = \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMA} = 30^\circ \). Chọn C.