Góc giữa đường thẳng S B và mặt phẳng ( S A C ) gần nhất với giá trị nào dưới đây?

86/120

Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) gần nhất với giá trị nào dưới đây?

\(25^\circ \).

\(43^\circ \).

\(67^\circ \).

\(72^\circ \).

Giải thích

v (ảnh 1)

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông của \(ABCD\).

Ta có:

\(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

\(SA \bot BD\)(do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\). Do đó góc giữa đường thẳng \(SB\) và \(\left( {SAC} \right)\) là góc \(BSO\).

Ta có \(\Delta SAB\) vuông vì \(SA \bot AB\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\).

\( \Rightarrow {\rm{SB}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 3 \).

Có \(BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).

Vì \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(BD \bot SO\) hay \(BO \bot SO\).

\(\Delta SBO\) vuông tại \(O\) nên \({\rm{sin}}\widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{{2a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\). Suy ra \(\widehat {BSO} \approx 24^\circ \). Chọn A.