Xét hàm số fx=2m2−5m+2x−12019x2020−2+7x2+1.

Hàm số có tập xác định D=ℝ nên liên tục trên ℝ.

Trường hợp 1: Nếu 2m2−5m+2=0⇔m=2m=12

Khi đó ta được fx=7x2+1. Dễ thấy phương trình fx=0 vô nghiệm.

Trường hợp 2: Nếu 2m2−5m+2≠0⇔m≠2m≠12.

Khi đó đa thức fx có bậc 4039 (bậc lẻ)

Ta có f0=1>0

* Nếu 2m2−5m+2>0⇔m>2m<12

Khi đó limx→−∞fx=−∞ nên tồn tại số thực a<0 sao cho fa<0

Từ đó ta được fa.f0<0 nên phương trình có nghiệm trong khoảng a; 0 do đó phương trình có nghiệm.

* Nếu . 2m2−5m+2<0⇔12<m<2

Khi đó limx→+∞fx=−∞ nên tồn tại số thực b>0 sao cho fb<0.

Từ đó ta được f0.fb<0 nên phương trình có nghiệm trong khoảng 0; b do đó phương trình có nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm khi m∈−∞; 12∪12; 2∪2; +∞

Giới hạn lim x-> 1 của (x+2 - căn 7x +2) / x- căn 5x -4= a/b (với a,b thuộc Z và a/b là phân số tối giản).