Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Vận dụng được định lí giá trị trung gian và kết hợp với tính năng bảng giá trị của máy tính Casio để tìm các khoảng mà phương trình có nghiệm.

* Xét f(x)=m2−m+2021x3−2m2−2m+4040x2−4x+m2−m+2021 có tập xác định là R và liên tục trên R.

Ta có:

f−1=−2m2+2m−4035=−2m+122−80692<0, ∀m

f0=m2−m+2021 =m−122+80834>0, ∀m

f1=−2<0, ∀m

f2=m2−m+2021 =m−122+80834>0, ∀m

Do đó:

* f−1.f(0)=<0 nên ∃x1∈−1;0:fx1=0

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1,0)

* f0.f(1)=<0 nên ∃x2∈0;1:fx2=0

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1)

* f1.f(2)=<0 nên ∃x3∈1;2:fx3=0

Suy ra phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1,2)

Vì ba khoảng −1;0, (0,1) và (1,2)rởi nhau đôi một nên phương trình f(x)=0 có ít nhất ba nghiệm trên R.

Mặt khác, vì m2−m+2021>0, ∀m nên f(x) là một đa thức bậc ba nên phương trình f(x)=0 chỉ có tối đa ba nghiệm trên R.

Kết luận: Phương trình f(x)=0 luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Giới hạn của dãy số (un) với un= (2n^3 +1)^4 (2n+3)^10/ 2n^22 +2 là: