Giải phương trình x^2 − 2 ( m − 1 ) x − m − 3 = 0 ( 1 ) (với m là tham số). 1. Giải phương trình với m = − 3 .

1. Với \(m = - 3\) ta có phương trình \({x^2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 8{\rm{\;}}{\rm{.\;}}}\end{array}} \right.\)

2. Phương trình \[\left( 1 \right)\]có 2 nghiệm phân biệt khi

\({\rm{\Delta '}} \ge 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + \left( {m + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + m + 3 \ge 0\)                           

          \( \Leftrightarrow {m^2} - m + 4 \ge 0\)
          \( \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) đúng với mọi \(m\)
Vậy chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo hệ thức Viète ta có x1+x2=2m−1   x1x2=−m−3         
Ta có:

       \[\begin{array}{l}x_1^2 + {\rm{x}}_{\rm{2}}^{\rm{2}} = 10 & \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow 4{(m - 1)^2} + 2\left( {m + 3} \right) = 10 & \end{array}\]

          \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\rm{ }}4{m^2} - 6m + 10 = 10\\\; \Leftrightarrow {\rm{\;}}2m\left( {2m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \frac{3}{2}.}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy với \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{3}{2}\)thỏa yêu cầu bài toán