Giải phương trình trên tập số nguyên

x2015=y(y+1)(y+2)(y+3)+1 (1)

y(y+1)(y+2)(y+3)=y(y+3)(y+1)(y+2)=(y2+3y)(y2+3y+2)Đặt t=y2+3y+1⇒y(y+1)(y+2)(y+3)=t2−1 

( t ∈ ℤ , t² ≥ 1)

(1) ⇔x2015−1=t2−1⇔x2015−1≥0x2015−1=t2−1(2)

Với x, t là số nguyên ta có: 

(2)⇔x2015−1+tx2015−1−t=−1⇔x2015−1+t=1x2015−1−t=−1x2015−1+t=−1x2015−1−t=1⇔x2015=t=1x2015=1t=−1

Với x2015=t=1⇒x=1y2+3y+1=1⇔x=1y=0y=−3

Với x2015=1t=−1⇒x=1y2+3y+1=−1⇔x=1y=−1y=−2

Thử lại ta thấy các cặp (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0) thỏa mãn đề bài

Vậy có 4 cặp (x;y) cần tìm là (1;-3), (1;-2), (1;-1), (1;0)