Giải phương trình ta được họ nghiệm x = {\pi }{a} + {{k\pi } / b}

111/120

Cho phương trình \(\frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cot}}x}} - \frac{{{\rm{tan}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right)\)

Giải phương trình ta được họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{a} + \frac{{k\pi }}{b},k,a,b \in Z\).

\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\).

\(x = \frac{\pi }{7} + k\pi ,k \in Z\).

\(x = \frac{\pi }{{10}} + k\pi ,k \in Z\).

\(x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi ,k \in Z\).

Giải thích

Đáp án A

ĐКХĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x \ne 0}\\{{\rm{cos}}x \ne 0}\end{array}} \right.\).

\(\frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cot}}x}} - \frac{{{\rm{tan}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right) \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{tan}}x{\rm{cot}}x = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right){\rm{sin}}x{\rm{cot}}x\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 1 = 2\left( {\sin x - \cos x} \right)\cos x \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 1 = 2\sin x.{\rm{cos}}x - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 = {\rm{sin}}2x \Leftrightarrow {\rm{sin}}2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\)