Giải phương trình nghiệm nguyên dương: xy + yz + zx = xyz + 2

Lời giải:

Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử x ≥ y ≥ z

⇒ xy + yz + zx ≤ 3xy

⇒ xyz + 2 ≤ 3xy

⇒ xy(3 − z) ≥ 2 > 0

⇒ 3 – z > 0

⇒ z < 3

⇒ z ={1;2}

TH1: z = 1

⇒ xy + x + y = xy + 2

⇔ x + y = 2

⇒ x = y = 1

⇒ (x;y;z) = (1;1;1)

TH2: z = 2

⇒xy + 2x + 2y = 2xy + 2

⇒ xy − 2x − 2y + 2 = 0

⇒ xy − 2x − 2y + 4 = 2

⇒x(y−2) − 2(y−2) = 2

⇒(x − 2)(y − 2) = 2 (pt ước số cơ bản)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)

⇒ (x ; y; z) = (4; 3 ;1)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y; z) ∈ {(1;1;1) , (4; 3 ;1)}.