Giải phương trình lượng giác cos(2x) = cos(x + pi/3) ta được các nghiệm x = pi a + k pi; x = pi b + k pi/3; k thuộc Z. Tính S = a^4 + b^2 + 404.

30/30

Giải phương trình lượng giác \({\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\) ta được các nghiệm \(x = \frac{\pi }{a} + k\pi ;\,x = \frac{\pi }{b} + k\frac{\pi }{3};\,k \in \mathbb{Z}\). Tính \[S = {a^4} + {b^2} + 404\].

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án: 2024

Lời giải

\({\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 4x}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\)\( \Leftrightarrow \cos 4x = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 2x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\4x = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \pi \\x = \frac{\pi }{{ - 18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\].

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = - 18\end{array} \right.\]. Vậy \[S = {a^4} + {b^2} + 404 = {6^4} + {( - 18)^2} + 404 = 2024\].