Giải phương trình cos x + cos x/2 + 1 = 0.

Lời giải:

cos x + cos \(\frac{{\rm{x}}}{2}\) + 1 = 0

Û2cos² \(\frac{{\rm{x}}}{2}\) – 1 + cos \(\frac{{\rm{x}}}{2}\) + 1 = 0

Û2cos² \(\frac{{\rm{x}}}{2}\)+ cos \(\frac{{\rm{x}}}{2}\)= 0

\( \Leftrightarrow \cos \frac{{\rm{x}}}{2}\left( {2\cos \frac{{\rm{x}}}{2} + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \frac{{\rm{x}}}{2} = 0\\\cos \frac{{\rm{x}}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\rm{x}}}{2} = \frac{{\rm{\pi }}}{2} + {\rm{k\pi }}\\\frac{{\rm{x}}}{2} = \pm \frac{{{\rm{2\pi }}}}{3} + {\rm{k\pi }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} = {\rm{\pi }} + {\rm{k2\pi }}\\{\rm{x}} = \pm \frac{{{\rm{4\pi }}}}{3} + {\rm{k2\pi }}\end{array} \right.\,\;\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy họ nghiệm của phương trình đã cho là \({\rm{x}} = {\rm{\pi }} + {\rm{k2\pi }}\); \({\rm{x}} = \pm \frac{{{\rm{4\pi }}}}{3} + {\rm{k2\pi }}\)\(\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\).