Giải phương trình: căn bậc 2( x)  + căn bậc 2 (3x - 2)  = x^2+ 1.

Điều kiện xác định: \(x \ge \frac{2}{3}\)

\(\sqrt x  + \sqrt {3x - 2}  = {x^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt x  + 2\sqrt {3x - 2}  = 2{x^2} + 2\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2 - 2\sqrt x  - 2\sqrt {3x - 2}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right) + \left( {3x - 2 - 2\sqrt {3x - 2}  + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {3x - 2}  - 1} \right)^2} = 0\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {\sqrt {3x - 2}  - 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.,\forall x \ge \frac{2}{3}\)

Do đó \(2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {3x - 2}  - 1} \right)^2} \ge 0\) nên để dấu bằng xảy ra thì \[\left\{ \begin{array}{l}2{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {\sqrt {3x - 2}  - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\sqrt x  = 1\\\sqrt {3x - 2}  = 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow x = 1\](thỏa mãn ĐKXĐ)

Kết luận: phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 1\).