Giải phương trình: \(9{x^2} - 53x =căn bậc hai {2x + 1} - 71\)
Điều kiện \(2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}\)
Phương trình viết lại thành:
\(36{x^2} - 212x + 284 = 4\sqrt {2x + 1} \;\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 36{x^2} - 212x + 284 + 8x + 5 = 4\left( {2x + 1} \right) + 4\sqrt {2x + 1} + 1\)
\( \Leftrightarrow 36{x^2} - 204x + 289 = 4\left( {2x + 1} \right) + 4\sqrt {2x + 1} + 1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {6x - 17} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {2x + 1} + 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {2x + 1} + 1 = 6x - 17\;\left( 1 \right)}\\{2\sqrt {2x + 1} + 1 = 17 - 6x\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
Xét (1), ta có:
(1)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} = 6x - 18\)
\(\;\; \Leftrightarrow 2\sqrt {2x + 1} = 3\left( {2x + 1} \right) - 21\;\left( {1'} \right)\;\)
Đặt \(t = \sqrt {2x + 1} \ge 0\;\)ta có:
\(\left( {1'} \right) \Leftrightarrow 3{t^2} - 2t - 21 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {t - 3} \right)\left( {3t + 7} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 3 = 0}\\{3t + 7 = 0}\end{array}} \right.\)
Xét (2), ta có:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 6x + 2\sqrt {2x + 1} - 16 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {2x + 1} \right) + 2\sqrt {2x + 1} - 19 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {2x + 1} \ge 0\) ta có:
\(\left( {2'} \right) \Leftrightarrow 3{t^2} + 2t - 19 = 0\)
Giải phương trình này ta được hai nghiệm \({t_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {58} }}{3}\;\left( {nhan} \right);{t_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {58} }}{3}\left( {loai} \right)\;\)
Với \({t_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {58} }}{3}\;\) ta được:
\(\sqrt {2x + 1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {58} }}{3}\)\( \Leftrightarrow 2x + 1 = \frac{{59 - 2\sqrt {58} }}{9}\) \( \Leftrightarrow 2x = \frac{{50 - 2\sqrt {58} }}{9}\;\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{25 - \sqrt {58} }}{9}\;\left( {nhan} \right)\)
Vậy \(S = \left\{ {\frac{{25 - \sqrt {58} }}{9};4} \right\}\)