Giải phương trình 8 x 2 − 21 x + 49 = 11 √ x 3 − 4 x + 15 .

ĐKXĐ \(x \ge - 3\).

Ta có \(8{x^2} - 21x + 49 = 11\sqrt {{x^3} - 4x + 15} \)

\(8\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) - 11\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right)} + 3\left( {x + 3} \right) = 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 3x + 5} = a\\\sqrt {x + 3} = b\end{array} \right.\,\,\,\left( {a > 0\,,\,\,b \ge 0} \right)\)

Ta có \(8{a^2} - 11ab + 3{b^2} = 0\), suy ra \(a = b\) hoặc \(8a = 3b\).

Nếu \(a = b\) thì \(\sqrt {{x^2} - 3x + 5} = \sqrt {x + 3} \)

Khi đó \({x^2} - 3x + 5 = x + 3\) hay \({x^2} - 4x + 2 = 0\). Suy ra \(x \in \left\{ {2 \pm \sqrt 2 } \right\}\).

Nếu \(8a = 3b\) thì \[8\sqrt {{x^2} - 3x + 5} = 3\sqrt {x + 3} \]

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\64{x^2} - 201x + 293 = 0\end{array} \right.\,\](loại)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2 + \sqrt 2 \) và \(x = 2 - \sqrt 2 \).