Giải phương trình 4^x − 2^(x + 2) + 3 = 0 .

a) Ta có \({4^x} - {2^{x + 2}} + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 4 \cdot {2^x} + 3 = 0\).

Đặt \(t = {2^x},t > 0\). Phương trình trở thành \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _2}3\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ {0;\,\,{{\log }_2}3} \right\}\).

b) Điều kiện xác định: \[5 - {2^x} > 0 \Leftrightarrow x < {\log _2}5\].

Ta có \({\log _2}\left( {5 - {2^x}} \right) = 2 - x \Leftrightarrow 5 - {2^x} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 5 - {2^x} = \frac{4}{{{2^x}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\).

Đặt \[t = {2^x}\] (\[t > 0\]).

Khi đó phương trình \((1)\) trở thành \(5 - t = \frac{4}{t} \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 4\end{array} \right.\).

+) Với \[t = 1\] ta có \[{2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\].

+) Với \[t = 4\] ta có \[{2^x} = 4 \Leftrightarrow x = 2\].

Do vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực \({x_1} = 0\) và \({x_2} = 2\).

Khi đó \(P = {x_1} + {x_2} + {x_1} \cdot {x_2} = 0 + 2 + 0 \cdot 2 = 2\).