Giải phương trình: ( 2 cos x + sin x − cos 2 x ) cos x = 1 + sin x

Phương trình \(\left( {2\cos x + \sin x - \cos 2x} \right)\cos x = 1 + \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left( {2\cos x + \sin x - 2{{\cos }^2}x + 1} \right).\cos x = 1 + \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right).\cos x + 2{\cos ^2}x\left( {1 - \cos x} \right) = 1 + \sin x\)

\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {1 - \cos x} \right) = \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \sin x - 2{{\cos }^2}x} \right) = 0\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\1 + \sin x - 2{\cos ^2}x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\2{\sin ^2}x + \sin x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin x = - 1\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + l2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + n2\pi \end{array} \right.\)(với \[k;k;m;n \in Z\])\(\)

Kết luận: \(x = k2\pi \);\[x = \frac{{ - \pi }}{2} + l2\pi \];\[x = \frac{\pi }{6} + m2\pi \];\[x = \frac{{5\pi }}{6} + n2\pi \]là các nghiệm của phương trình