Giải hệ phương trình x^2 + xy -2y^2 = x +2y và x^3 + 2xy^2 = x^2 + y^2 -1

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + xy - 2{y^2} = x + 2y\;\;\;\left( 1 \right)}\\{{x^3} + 2{x^2}y = {x^2} + {y^2} - 1\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}\;} \right.\)

(1) \( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {y - 1} \right)x - 2{y^2} - 2y = 0\)

                \(\Delta = {y^2} - 2y + 1 + 8{y^2} + 8y = 9{y^2} + 6y + 1 = {\left( {3y + 1} \right)^2}\)

Phương trình (1) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 - y + 3y + 1}}{2} = y + 1}\\{x = \frac{{1 - y - 3y - 1}}{2} = - 2y}\end{array}} \right.\)

+Với \(x = y + 1\) thế vào (2) ta được:

                   \({x^3} + 2{x^2}\left( {x - 1} \right) = {x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^3} - 2{x^2} = {x^2} + {x^2} - 2x + 1 - 1\)

                                  \( \Leftrightarrow 3{x^3} - 4{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \Rightarrow y = - 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3{x^2} - 4x + 2 = 0\;\;\left( {v\^o \;nghiem} \right)}\end{array}} \right.\)

+ Với \(x = - 2y\) thế vào (2) ta được:

         \( - 8{y^3} + 2{\left( { - 2y} \right)^2}.y = 4{y^2} + {y^2} - 1 \Leftrightarrow 5{y^2} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\; \Rightarrow x = - 2\left( { \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)\)

Kết luận: hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {0; - 1} \right);\left( {\frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5};\frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right);\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5};\frac{{ - \sqrt 5 }}{5}} \right)} \right\}\)