Giải hệ phương trình (x^2 + 1) ( y^2 + 1 ) =4

5/5

Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{y^2} + 1} \right) = 4(1)\\x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} = {x^2}{y^2} - 1(2)\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Bình phương 2 vế của phương trình (2) và kết hợp với (1) ta được: \[\begin{array}{l}2{x^2}{y^2} + 4xy + 3 - {x^2}{y^2} = {x^4}{y^4} - 2{x^2}{y^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^4}{y^4} - 3{x^2}{y^2} - 4xy - 2 = 0\end{array}\]

Đặt xy = t (từ (1) ta tìm được điều kiện của \[ - 1 \le t \le 1\])

Khi đó ta được phương trình

\[\begin{array}{l}{t^4} - 3{t^2} - 4t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {{t^3} - {t^2} - 2t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 1 = 0}\\{{t^3} - {t^2} - 2t - 2 = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{{t^3} = {t^2} + 2t + 2}\end{array}} \right.\end{array}\]

Với t = -1 suy ra xy = -1 hệ phương trình có hai nghiệm (1 ;-1) ; (-1 ;1)

Với \[{t^3} = {t^2} + 2t + 2 = {\left( {t + 1} \right)^2} + 1 \ge 1\] (vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (1 ;-1) ; (-1 ;1)