1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn

Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).

Ta có MBO^=900, MAO^=900 (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)

Suy ra: MAO^+MBO^=1800.Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh: MN² = NF. NA và MN = NH

Ta có AE//MO⇒AEM^=EMN^ mà AEM^=MAF^⇒EMN^=MAF^

ΔNMF và ΔNAM có: MNA^ chung; EMN^=MAF^

nên ΔNMF đồng dạng với ΔNAM

⇒NMNF=NANM⇒NM2=NF.NA 1

Mặt khác có: ABF^=AEF^⇒ABF^=EMN ^hay HBF^=FMH^

=> MFHB là tứ giác nội tiếp

⇒FHM^=FBM^=FAB^ hay FHN^=NAH^

Xét ΔNHF & ΔNAH có ANH ^chung; NHF^=NAH^

=> ΔNMF đồng dạng ΔNAH⇒⇒NHNF=NANH⇒NH2=NF.NA 2

Từ (1) và (2) ta có NH = HM

3) Chứng minh: HB2HF2−EFMF=1.

Xét ΔMAF và ΔMEA có: AME^ chung, MAF^=MEA^

suy ra ΔMAF đồng dạng với ΔMEA

⇒MEMA=MAMF=AEAF⇒MEMF=AE2AF2 (3)

Vì MFHB là tứ giác nội tiếp ⇒MFB^=MHB^=900⇒BFE^=900 và AFH^=AHN^=900⇒AFE^ =BFH^

ΔAEF và ΔHBF có: EFA^=BFH^ ; FEA^=FBA^

suy ra ΔAEF ~ ΔHBF

⇒AEAF=HBHF⇒AE2AF2=HB2HF2 (4)

Từ (3) và (4) ta có MEMF=HB2HF2⇔MF+FEMF=HB2HF2⇔1+FEMF=HB2HF2⇔HB2HF2−FEMF=1

Giải hệ phương trình sau3x+y=5 và 3−x=y