Giải hệ phương trình sau: {x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0

Điều kiện: \(x \ge  - 1\) và \(y \le 16\). (1)

Với điều kiện đó, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 2y + x - 2{x^2}y = 0}\\{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x - 2y)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0}\\{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2y}\\{\sqrt {2y + 1}  - \sqrt {16 - y}  = 3.}\end{array}} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\rm{ (3) }} \Leftrightarrow (\sqrt {2y + 1}  - 5) - (\sqrt {16 - y}  - 2) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2(y - 12)}}{{\sqrt {2y + 1}  + 5}} + \frac{{y - 12}}{{\sqrt {16 - y}  + 2}} = 0\\ \Leftrightarrow (y - 12)\left( {\frac{2}{{\sqrt {2y + 1}  + 5}} + \frac{1}{{\sqrt {16 - y}  + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow y = 12.\end{array}\)

Thay \(y = 12\) vào (2), ta được \(x = 24\).

Cặp số \(\left( {x,y} \right) = \left( {24,12} \right)\) thỏa mãn (1). Vì thế, cặp số đó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.