$Vì \(K,\,\,K'\) cùng nằm trong đoạn \(AH\), suy ra \ (ảnh 1)$

a) Xét \({\rm{\Delta }}DAH\) và \({\rm{\Delta }}HAC\) có:

\(\widehat {ADH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(\widehat {DAH} = \widehat {HAC}\) (góc chung).

Do đó $Δ D A H ∽ Δ H A C$ (g.g).

b) Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {ADH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \);

\(\widehat {AHD} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat {DHC}\)).

Do đó, $Δ A D H ∽ Δ A H C$ (g.g) suy ra \(\frac{{AD}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(A{H^2} = AD \cdot AC\) (1).

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(A{H^2} = BH \cdot HC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AD \cdot AC = BH \cdot HC\).

c)

$Vì \(K,\,\,K'\) cùng nằm trong đoạn \(AH\), suy ra \ (ảnh 2)$

⦁ Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(HD\):

Vì \(HD \bot AC\) và \(AB \bot AC\) nên \(HD\,{\rm{//}}\,AB\). Do đó, \(HI\,{\rm{//}}\,BO\) và \(ID\,{\rm{//}}\,AO\).

Vì \(HI\,{\rm{//}}\,BO\) nên . Do đó, \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{HI}}{{BO}}\) (3).

Vì \(ID\,{\rm{//}}\,AO\) nên . Do đó, \(\frac{{CI}}{{CO}} = \frac{{ID}}{{OA}}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{HI}}{{BO}} = \frac{{ID}}{{OA}}\).

Lại có\(O\) là trung điểm của \(AB\) nên \(OA = OB = \frac{1}{2}AB\). Do đó, \(HI = ID\).

Mà \(I \in HD\) nên \(I\) là trung điểm của \(HD\).

⦁ Chứng minh \(B,K,D\) thẳng hàng:

$Vì \(K,\,\,K'\) cùng nằm trong đoạn \(AH\), suy ra \ (ảnh 3)$

Gọi \(K'\) là giao điểm của \(BD\) và \(AH\). Vì \(HD\,{\rm{//}}\,AB\) nên ta có:

suy ra \(\frac{{K'H}}{{K'A}} = \frac{{HD}}{{AB}}\).

Mặt khác, \(HI\,{\rm{//}}\,AO\), \(H,\,\,K,\,\,A\) thẳng hàng và \(I,\,\,K,\,\,O\) thẳng hàng nên:

suy ra \(\frac{{KH}}{{KA}} = \frac{{HI}}{{AO}}\).

Do \(HI = \frac{{HD}}{2}\) và \(AO = \frac{{AB}}{2}\), suy ra: \(\frac{{KH}}{{KA}} = \frac{{HD}}{{AB}} = \frac{{K'H}}{{K'A}}\).

Vì \(K,\,\,K'\) cùng nằm trong đoạn \(AH\), suy ra \(K \equiv K'\). Vậy \(B,\,\,K,\,\,D\) thẳng hàng.

Giải hệ phương trình sau: (x + 20)(y − 1) = xy, (x − 10)(y + 1) = xy