$a) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), áp dụng tỉ số lượng (ảnh 1)$

a) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\):

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\) (cm).

\(\tan \widehat {B\,} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{3}{4} = 0,75\) suy ra \(\widehat {B\,} \approx 37^\circ \).

b) Xét \({\rm{\Delta }}HCA\) và \({\rm{\Delta }}ACB\), ta có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \);

\(\widehat {C\,}\) là góc chung.

Suy ra $Δ H C A ∽ Δ A C B$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) (1) suy ra \(AC \cdot AC = CH \cdot BC\) hay \(A{C^2} = CH \cdot BC\).

Xét \({\rm{\Delta }}AHB\) và \({\rm{\Delta }}CAB\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = 90^\circ \);

\(\widehat {B\,}\) là góc chung.

Suy ra $Δ A H B ∽ Δ C A B$ (g.g) suy ra \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AB}}\).

Vì \(C\) là trung điểm của \(AI\) nên \(AC = CI\).

Vì \(A\) là trung điểm của \(DB\) nên \(AB = AD\).

Suy ra \(\frac{{CH}}{{CI}} = \frac{{AH}}{{AD}}\) hay \(\frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{CI}}{{AD}}\).

Mặt khác: \(\widehat {ICH} = 180^\circ - \widehat {ACB}\) và \(\widehat {DAH} = 180^\circ - \widehat {HAB}\).

Do \(\widehat {HAB} = \widehat {ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat {B\,}\)) nên \(\widehat {ICH} = \widehat {DAH}\).

Suy ra $Δ I C H ∽ Δ D A H$ (c.g.c)

c)

$a) Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), áp dụng tỉ số lượng (ảnh 2)$

Do \(CI \bot AB\) và \(BF \bot AB\) nên \(CI\,{\rm{//}}\,BF\).

Vì \(C,\,\,H,\,\,B\) thẳng hàng và \(I,\,\,H,\,\,F\) thẳng hàng nên $Δ H C I ∽ Δ H B F$ suy ra \(\frac{{BF}}{{CI}} = \frac{{BH}}{{CH}}\).

Chứng minh tương tự câu b) ta được: \(A{B^2} = BH \cdot BC{\rm{\;}}\) và \(A{C^2} = CH \cdot BC\).

Suy ra \(\frac{{BH}}{{CH}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}}\).

Kết hợp với \(CI = AC\), ta được: \(BF = CI \cdot \frac{{BH}}{{CH}} = AC \cdot \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{AC}}\).

Mặt khác, do \(AD = AB\), \(AI = 2AC\), \(BD = 2AB\) nên:

\(\frac{{AD}}{{BF}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{BD}}.\)

Hai tam giác vuông \(DAI\) và \(FBD\) đồng dạng (c.g.c), suy ra \(\widehat {ADI} = \widehat {BFD}.\)

Vì tia \(DA\) trùng tia \(DB\), còn \(I\) và \(F\) nằm khác phía đối với đường thẳng \(DB\):

\(\widehat {IDF} = \widehat {ADI} + \widehat {BDF} = \widehat {BFD} + \widehat {BDF} = 90^\circ \)

Vậy \(ID \bot DF\).

Giải hệ phương trình sau: 3x − 1 = 5(x + 2y) + 8, 3(x − 5y) − 10 = x + 6