Giải hệ phương trình

1. Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 6y = 2023\left| {xy} \right|\\x - 2y = 3xy\end{array} \right.\,\,(1)\)

Nếu xy > 0 thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{y} + \frac{6}{x} = 2023\\\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{y} = \frac{{2032}}{9}\\\frac{1}{x} = \frac{{2005}}{{18}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{{2005}}\\y = \frac{9}{{2032}}\end{array} \right.\)

(thoả mãn xy > 0)

Nếu xy < 0 thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{6}{y} + \frac{6}{x} = - 2023\\\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{y} = - \frac{{2014}}{9}\\\frac{1}{x} = - \frac{{2041}}{{18}}\end{array} \right.\) (loại, vì không thỏa mãn xy < 0)

Nếu xy = 0 thì từ (1) ta tính được x = y = 0

Vậy hệ phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là (0; 0) và \(\left( {\frac{{18}}{{2005}};\,\frac{9}{{2032}}} \right)\).

2. Giải phương trình: \(2x + 3 + \sqrt {4{x^2} + 9x + 2} = 2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} \,\,(2)\)        

ĐK: \(x \ge - \frac{1}{4}\). Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2x + 3 + \sqrt {(x + 2)(4x + 1)} = 2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} .\)

Đặt \(t = 2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} \) (với \(t \ge \sqrt 7 \)) thì \({t^2} = 8x + 4\sqrt {(x + 2)(4x + 1)} + 9\) hay

\(2x + \sqrt {(x + 2)(4x + 1)} = \frac{{{t^2} - 9}}{4}\). Phương trình (2) trở thành \(\frac{{{t^2} - 9}}{4} + 3 = t\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\,\)hoặc \(t = 3\).

Kết hợp với điều kiện \(t \ge \sqrt 7 \) ta lấy \(t = 3\)

Với t = 3 thì \(2\sqrt {x + 2} + \sqrt {4x + 1} = 3 \Leftrightarrow 2x + \sqrt {(x + 2)(4x + 1)} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {(x + 2)(4x + 1)} = - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\(x + 2)(4x + 1) = 4{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{2}{9}\)

Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất \(x = - \frac{2}{9}\)