Giải hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - \frac{{{y^2}}}{{y + 1}} = 13\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\frac{4}{{x - 2}} + \frac{2}{{y + 1}} = 1 - x - 2y\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Điều kiện xác định: \[x \ne 2,y \ne  - 1\]

Từ \[(2)\] ta có

\[\begin{array}{l}\frac{4}{{x - 2}} + \frac{2}{{y + 1}} = 1 - x - 2y\\\frac{4}{{x - 2}} + x + \frac{2}{{y + 1}} + 2y = 1\\\frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2} + 2y + 2}}{{y + 1}} = 1\\\frac{{{x^2} - 2(x - 2)}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2} + 2(y + 1)}}{{y + 1}} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - 2 + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} + 2 = 1\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}\]

Từ \[(1)\] và \[(3)\] ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} - \frac{{{y^2}}}{{y + 1}} = 13\\\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} + \frac{{2{y^2}}}{{y + 1}} = 1\end{array} \right.\]

Từ đó ta suy ra được \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x - 2}} = 9\\\frac{{{y^2}}}{{y + 1}} =  - 4\end{array} \right.\]

Hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9x + 18 = 0\\{y^2} + 4y + 4 = 0\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình trên ta được các cặp số \[(x;y)\] là \[(3; - 2)\] và \[(6; - 2)\].

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn hệ phương trình và thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu.

Vậy hệ đã cho có nghiệm \[(x;y)\] là \[(3; - 2)\] và \[(6; - 2)\]